“precedes or equal to”（先于或等于）符号⪯
符号
x
⪯
y
x \preceq y
x⪯y 通常表示向量
x
x
x与向量
y
y
y 之间的分量逐个比较，即“按分量不等式比较”。具体地说，
x
⪯
y
x \preceq y
x⪯y表示向量
x
x
x中的每个分量
x
i
x_i
xi都小于等于
y
y
y中对应的分量
y
i
y_i
yi，即
x
i
≤
y
i
x_i \leq y_i
xi≤yi对于每个索引
i
i
i 成立。
这种符号通常用于比较两个向量的分量，判断它们在每个位置上的大小关系。在某些情况下，这种分量逐个比较能够帮助描述向量或元素之间的顺序关系或约束条件。
符号
x
⪯
y
x \preceq y
x⪯y 和
x
≤
y
x \leq y
x≤y 在某些情况下可能表示相同的含义，但在不同的数学语境下，可能有不同的解释。
通常情况下：
符号
x
⪯
y
x \preceq y
x⪯y 通常用于表示偏序关系，它指的是
x
x
x在某种偏序关系下“小于等于”
y
y
y，并不一定意味着完全的数值大小比较。这个符号通常出现在偏序集或偏序关系的讨论中，强调的是集合中元素之间的偏序关系，可能并非严格的数值大小比较。
符号
x
≤
y
x \leq y
x≤y则是常见的数学符号，表示
x
x
x 小于等于
y
y
y。这个符号在通常的数值大小比较中使用，强调的是数值大小关系，是一种直接的比较。
在某些情况下，这两个符号可能有相似的含义，但在描述偏序关系或实际数值大小比较时，语境会决定它们的准确含义。
让我们用一个向量的例子来说明这两个符号的区别：
假设有两个向量 (x) 和 (y)，它们的分量如下：
x
=
[
2
4
]
,
y
=
[
3
3
]
x = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}, \quad y = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix}
x=[24],y=[33]
按照每个向量中的元素进行分量比较：
对于
x
⪯
y
x \preceq y
x⪯y，我们检查每个对应元素，
2
≤
3
2 \leq 3
2≤3和
4
≤
3
4 \leq 3
4≤3。虽然
2
≤
3
2 \leq 3
2≤3 成立，但
4
≤
3
4 \leq 3
4≤3不成立，所以
x
⪯
y
x \preceq y
x⪯y不成立，因为偏序关系要求所有分量都满足。
对于
x
≤
y
x \leq y
x≤y，同样检查每个对应元素，
2
≤
3
2 \leq 3
2≤3 和
4
≤
3
4 \leq 3
4≤3。同样，尽管
2
≤
3
2 \leq 3
2≤3 成立，但
4
≤
3
4 \leq 3
4≤3不成立，所以
x
≤
y
x \leq y
x≤y 也不成立。
在这个例子中，无论是偏序关系
x
⪯
y
x \preceq y
x⪯y 还是数值大小比较
x
≤
y
x \leq y
x≤y 都不成立，因为在每个对应元素上都有至少一个分量不满足条件。这突显了在不同语境下，这两个符号所代表的含义可能会有所不同。